SUMAS DE RIEMANN
La suma de Riemann es un método de integración numérica que nos
sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo
una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo.
- la integral superior
I*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }
- la integral inferior
I*( f ) = sup { I(f, P) : P es partición de [a, b] }
Entonces si I*( f ) = I*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:
f(x) dx
Hay que
destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular
escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de
las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser
aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo
sobre cualquier partición.
Dada una
función real no positiva definida en el intervalo [a,b], se puede descomponer
en dos funciones f+(x) y f -(x) definidas así:
f+(x)
= max { f(x), 0 }
f -(x)
= max { -f(x), 0 }
Así,
tenemos que ambas funciones son positivas y f se puede definir en base a ellas
de esta manera:
f(x) = f+(x)
- f -(x)
Así que
el problema se reduce a calcular la integral de dos funciones positivas.
Tenemos, por tanto, que:
