SUMAS DE RIEMANN

SUMAS DE RIEMANN

La suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo.

Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define:

• la integral superior I^*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }

• la integral inferior I_*( f ) = sup { I(f, P) : P es partición de [a, b] }

Entonces si I^*( f ) = I_*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:
 

f(x) dx

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición.

 

Dada una función real no positiva definida en el intervalo [a,b], se puede descomponer en dos funciones f⁺(x) y f ^-(x) definidas así:

f⁺(x) = max { f(x), 0 }

f ^-(x) = max { -f(x), 0 }

Así, tenemos que ambas funciones son positivas y f se puede definir en base a ellas de esta manera:

f(x) = f⁺(x) - f ^-(x)

Así que el problema se reduce a calcular la integral de dos funciones positivas. Tenemos, por tanto, que: