METODO POR PARTES

Integración por partes

 

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una anti derivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que, lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

 

Explicación

La integración  por partes esta dada por la siguiente fórmula matemática:

∫u.v’ dx=u.v - ∫v.u’ du

La forma de entender esta fórmula es con un ejemplo, y por eso voy a proceder a explicarles utilizando un ejercicio que está resuelto en la siguiente imagen:

 

En este ejemplo se ve como elige a e a la x como u y cos 5x como v’ (derivada de v). Luego procede derivando la u e integrando el v para poder tener todas las cosas necesarias y poder reemplazar en la fórmula. Para finalizar el método de integración por partes reemplaza en la fórmula y completa la integración correspondiente.

Hay un inconveniente que se les puede presentar cuando eligen cual es v’ y cual u y por eso les voy a dar una pequeña ayuda. Debes llamar v’ a las partes que sean exponencial, logaritmo, funciones trigonométricas ( en ese orden). Es decir, que deben buscar si alguna de las partes es exponencial, si lo es esa es v’ y la otra es u, si no lo es deben seguir buscando hasta encontrar el v’ correspondiente  En la mayoría de los casos u es un polinomio, ya que su derivada es muy sencilla.

 

 

Ejemplo:

INTEGRALES DIRECTAS

Teoremas de integración directa

METODO DE SUSTITUCION

METODO DE SUSTITUCION

 

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

 

EJEMPLO

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

 

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

 

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. Solución

 

CONCEPTO DE INTEGRALES

Concepto de Integral

Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce  una notación para la anti derivada de una función

Si F^!(x) = f(x),  se representa 

A este grafo ∫ se le llama símbolo de  la integral y a la notación ∫fx  dx se le llama integral indefinida  de f(x) con respecto a x. La función f(x)se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama    conste de integración esta surge por la imposibilidad  de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.

∫f x  dx

Esto se lee integral de fx del diferencial de x

VELOCIDADES

VELOCIDADES

También las sumas de riemann nos sirven para calcular las velocidades de distintos eventos.

Con este método podemos darnos cuenta de los verdaderos resultados y los más exactos.

 EJEMPLO

En un carrera de arrancones celebrada sobre calzada la Huerta Miguel y Michel realizan un competencia. El evento dura aproximadamente 10 segundos, las velocidades que alcanzan en el periodo de 1 segundo son las siguientes.

T (s)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Miguel	0	30	48	57	69	81	93	104	111	121	122
Michel	0	23	58	78	92	106	120	129	140	147	153

Distancia que gano Michel a miguel:

T (s)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Miguel	0	8	13	15	19	22	25	28	30	33	35
Michel	0	9	16	21	25	29	33	35	38	40	42

Miguel      228

Michel      288

La diferencia con que gana Michel es de 60m.

SUMAS DE RIEMANN

SUMAS DE RIEMANN

La suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo.

Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define:

• la integral superior I^*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }

• la integral inferior I_*( f ) = sup { I(f, P) : P es partición de [a, b] }

Entonces si I^*( f ) = I_*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:
 

f(x) dx

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición.

 

Dada una función real no positiva definida en el intervalo [a,b], se puede descomponer en dos funciones f⁺(x) y f ^-(x) definidas así:

f⁺(x) = max { f(x), 0 }

f ^-(x) = max { -f(x), 0 }

Así, tenemos que ambas funciones son positivas y f se puede definir en base a ellas de esta manera:

f(x) = f⁺(x) - f ^-(x)

Así que el problema se reduce a calcular la integral de dos funciones positivas. Tenemos, por tanto, que:

 

   

 

INTEGRAL

INTEGRAL

Una integral es una suma de infinitos sumados infinitamente pequeños.

 

DERIVADA DE LA FUNCION

A ------------------ limite superior

B ------------------- límite inferior

INTEGRAL INDEFINIDA