Integración
por partes
Se entiende
por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas
elementales usadas para calcular una anti derivada o integral
indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que, lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que, lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:
El método
de integración por partes permite calcular la integral de un
producto de dos funciones aplicando la fórmula:
Las funciones
logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones
exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
Explicación
La integración
por partes esta dada por la
siguiente fórmula matemática:
∫u.v’ dx=u.v
- ∫v.u’ du
La forma de
entender esta fórmula es con un ejemplo, y por eso voy a proceder
a explicarles utilizando un ejercicio que está resuelto en
la siguiente imagen:
En este ejemplo
se ve como elige a e a la x como u y cos 5x como v’ (derivada de v). Luego
procede derivando la u e integrando el v para poder tener todas las cosas
necesarias y poder reemplazar en la fórmula. Para finalizar el método
de integración por partes reemplaza en la fórmula y completa
la integración correspondiente.
Hay un
inconveniente que se les puede presentar cuando eligen cual es v’ y cual u y
por eso les voy a dar una pequeña ayuda. Debes llamar v’ a las partes que sean
exponencial, logaritmo, funciones trigonométricas ( en ese orden). Es
decir, que deben buscar si alguna de las partes es exponencial, si lo
es esa es v’ y la otra es u, si no lo es deben seguir buscando hasta encontrar el
v’ correspondiente En la mayoría de los casos u es un
polinomio, ya que su derivada es muy sencilla.
Ejemplo:
